Mathématiques · CM2 · semaine 18
Le périmètre
Une leçon courte de CM2, à lire en cinq minutes. Chaque étape a son exemple.
Le périmètre, c'est la longueur du contour
Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour, c'est-à-dire la longueur du chemin qu'on parcourt en faisant tout le tour de la figure sans jamais couper à l'intérieur. L'image la plus sûre est celle de la ficelle : si tu tends une ficelle tout autour de la figure et que tu la déroules ensuite sur la table, la longueur de ficelle utilisée est le périmètre. Comme c'est une longueur, le résultat s'exprime toujours avec une unité de longueur : cm, m, km. Et comme c'est une longueur, il ne dit rien de la place occupée à l'intérieur de la figure : ce sera une autre histoire, plus tard dans l'année.
Exemple : Pour un triangle dont les bords mesurent 5 cm, 6 cm et 7 cm, la ficelle qui en fait le tour mesure 5 + 6 + 7 = 18 cm.
La méthode qui marche toujours : additionner tous les bords
Quelle que soit la figure, il existe une seule méthode qui ne tombe jamais en panne : on additionne la longueur de tous les bords, un par un. Pour ne rien oublier et ne rien compter deux fois, on part d'un point précis et on tourne toujours dans le même sens, comme si on marchait le long de la barrière. C'est particulièrement utile quand la figure n'a rien de régulier : un terrain à cinq bords tous différents se traite exactement comme le reste, en additionnant les cinq mesures. Compte tes termes à la fin : autant de nombres additionnés que la figure a de bords.
Exemple : Un terrain a cinq bords. En partant du portail et en tournant toujours dans le même sens, ils mesurent 3 m, 5 m, 4 m, 6 m et 2 m : le tour mesure 3 + 5 + 4 + 6 + 2 = 20 m.
Des raccourcis, mais des raccourcis que tu construis
Quand une figure a des bords égaux, l'addition se raccourcit d'elle-même, et tu n'as rien à apprendre par cœur : tu le retrouves. Une figure à quatre bords tous de la même longueur, c'est quatre fois la même mesure, donc le quadruple de la longueur d'un bord. Un triangle dont les trois bords sont égaux, c'est trois fois la même mesure. Pour un rectangle, la longueur et la largeur apparaissent chacune deux fois : L + l + L + l, et comme on additionne deux fois la même somme, c'est aussi le double de L + l. Si un jour tu doutes du raccourci, reviens à l'addition complète : elle te redonnera la réponse.
Exemple : Rectangle de 12 cm de longueur et 5 cm de largeur : 12 + 5 + 12 + 5 = 34 cm, ou bien le double de 12 + 5, c'est-à-dire le double de 17, donc 34 cm.
Toutes les mesures dans la même unité
On ne peut additionner que des mesures écrites dans la même unité. Si un énoncé mêle des mètres et des centimètres, il faut d'abord tout ramener à une seule unité, en se servant de ce que tu sais déjà : 1 m vaut 100 cm. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle ne se voit pas : le calcul est juste, mais il porte sur des nombres qui ne parlent pas de la même chose. Prends l'habitude de convertir avant de commencer, puis de vérifier ton unité de réponse à la fin.
Exemple : Rectangle dont la longueur mesure 1 m et la largeur 40 cm : on écrit 1 m = 100 cm, puis 100 + 40 + 100 + 40 = 280 cm, soit 2 m 80 cm.
Remonter du tour vers un bord, et se méfier des apparences
Le problème peut aussi se poser à l'envers : on connaît le tour et on cherche un bord. Pour une figure à quatre bords égaux, le tour est le quadruple d'un bord, donc on divise le tour par 4. Pour un rectangle, on divise d'abord le tour par 2 : on obtient la somme de la longueur et de la largeur, et il ne reste qu'à retirer celle que l'on connaît. Dernière chose, et elle surprend toujours : deux figures peuvent avoir exactement le même tour sans se ressembler du tout. Un rectangle de 8 cm sur 2 cm et un rectangle de 6 cm sur 4 cm ont le même tour, 20 cm, et pourtant l'un est long et plat, l'autre presque à bords égaux.
Exemple : Un tour de 36 m pour une figure à quatre bords égaux : 36 ÷ 4 = 9 m par bord. Un tour de 30 cm pour un rectangle de 9 cm de longueur : 30 ÷ 2 = 15, puis 15 − 9 = 6 cm de largeur.
À retenir
- Le périmètre est la longueur du contour de la figure : la longueur de ficelle qu'il faut pour en faire tout le tour.
- La méthode sûre, valable pour toutes les figures : additionner la longueur de tous les bords, en partant d'un point et en tournant toujours dans le même sens.
- Les raccourcis se retrouvent : quatre bords égaux donnent le quadruple d'un bord, et un rectangle donne le double de la somme de la longueur et de la largeur.
- On convertit avant d'additionner : 1 m vaut 100 cm, et le résultat s'écrit toujours avec son unité.
- Si on connaît le tour, on remonte vers un bord : on divise par 4 pour quatre bords égaux, par 2 puis on retire la longueur connue pour un rectangle.
- Deux figures peuvent avoir le même tour sans avoir la même forme.
As-tu compris ?
Cherche d’abord, puis déplie la réponse. Dans l’appli, il y en a quatre, puis une deuxième série et un défi.
Mathématiques · CM2
Nino a découpé une figure à quatre bords, tous de la même longueur : chacun mesure 7 cm. De quelle longueur de ficelle a-t-il besoin pour en faire exactement tout le tour, en cm ?
Voir la réponse
Réponse : 28. Faire le tour, c'est parcourir les quatre bords : on additionne donc quatre fois 7, ce qui donne 7 + 7 + 7 + 7 = 28 cm. Comme les quatre mesures sont identiques, on peut aller plus vite en prenant le quadruple de 7, c'est-à-dire 4 × 7 = 28 : les deux chemins donnent bien le même résultat. Attention à ne pas s'arrêter à deux bords, ce qui donnerait 14 cm.
Mathématiques · CM2
Qui a raison ? Maya affirme que le contour d'un rectangle de 12 cm de longueur et 5 cm de largeur mesure 34 cm. Nino affirme qu'il mesure 17 cm.
Voir la réponse
Réponse : Maya, car il faut compter les quatre bords du rectangle. Maya a raison. Un rectangle a quatre bords, et la longueur comme la largeur apparaissent chacune deux fois : 12 + 5 + 12 + 5 = 34 cm, ou le double de 17, ce qui donne encore 34. Nino a fait l'erreur la plus fréquente du chapitre : il a additionné une longueur et une largeur, donc la moitié du tour seulement. Quant à 60, c'est 12 × 5, un calcul qui ne correspond pas du tout à un contour.