Mathématiques · CM2 · semaine 16
Le cercle et le disque
Une leçon courte de CM2, à lire en cinq minutes. Chaque étape a son exemple.
Tous à la même distance d'un même point
Plante un piquet dans un pré, attache-lui une corde de 5 m, puis marche en tendant la corde : la trace de tes pas est un cercle. Voilà la définition, et c'est l'essentiel de la semaine. Un cercle de centre O et de rayon 5 cm, c'est l'ensemble de tous les points situés à 5 cm de O : tous ceux-là, et aucun autre. Un point n'est donc sur le cercle que si sa distance au centre est exactement égale au rayon. Le centre, lui, n'est pas sur le cercle.
Exemple : Cercle de centre A, rayon 7 cm : le point B situé à 7 cm de A est sur ce cercle ; le point C situé à 2 cm de A ne l'est pas.
Le cercle est la ligne, le disque est la surface
Deux mots, deux objets différents. Le cercle est la ligne, le tour. Le disque, c'est cette ligne et tout ce qu'il y a dedans. Un cerceau de gymnastique ou un bracelet est un cercle : il n'y a rien à l'intérieur. Une pièce de monnaie, une crêpe, une rondelle de saucisson est un disque : la surface est pleine. Le test le plus simple : peut-on le colorier ? Alors c'est un disque. Est-ce seulement un trait ? Alors c'est un cercle.
Exemple : On ne colorie jamais « l'intérieur du cercle » : ce qu'on colorie, c'est le disque.
Sur le cercle, dans le disque, ou dehors
Prends un cercle de centre O et de rayon 4 cm, puis un point quelconque, et compare une seule chose : sa distance à O. Si cette distance vaut 4 cm, le point est sur le cercle. Si elle est plus petite, il est dans le disque sans être sur le cercle. Si elle est plus grande, il est à l'extérieur. Tu n'as besoin d'aucun dessin pour répondre : il suffit de comparer deux longueurs.
Exemple : Rayon 4 cm : le point à 2 cm du centre est dans le disque, celui à 4 cm est sur le cercle, celui à 5 cm est à l'extérieur.
Rayon et diamètre : deux longueurs
Tu connais déjà ces deux mots ; la définition leur donne enfin tout leur sens. Le rayon est la distance du centre au cercle, et c'est pour cela que tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur. Le diamètre est un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre : il mesure donc deux fois le rayon. Rayon 3 cm, diamètre 6 cm ; diamètre 14 cm, rayon 7 cm ; diamètre 9 cm, rayon 4,5 cm. Attention : un segment qui joint deux points du cercle sans passer par le centre n'est pas un diamètre. Et l'on peut en tracer autant qu'on veut : il y a une infinité de rayons et de diamètres.
Exemple : Une roue de 60 cm de diamètre a un rayon de 30 cm, mesuré du moyeu, qui est le centre, jusqu'au bord.
Le compas, et le programme de construction
Le compas ne sait faire qu'une chose, et c'est exactement ce que dit la définition : garder une distance. On règle l'écartement des branches sur la longueur du rayon avec la règle graduée, on pique la pointe sèche sur le centre, et le crayon ne peut plus que rester à cette distance. Si la vis se desserre en route, l'écartement change et l'on n'obtient pas un cercle, mais une spirale. Pour faire tracer une figure par quelqu'un d'autre, on écrit un programme de construction, c'est-à-dire des étapes dans l'ordre : « Trace le segment [AB] de 8 cm. Place le point O au milieu de [AB]. Trace le cercle de centre O qui passe par A. »
Exemple : Dans ce programme, le rayon vaut 4 cm, la moitié de 8 cm, et le cercle passe aussi par B, puisque B est lui aussi à 4 cm de O.
À retenir
- Un cercle de centre O et de rayon 5 cm est l'ensemble des points situés à 5 cm de O : ni plus près, ni plus loin.
- Le cercle est la ligne ; le disque est la ligne et tout ce qu'il y a dedans. On colorie un disque, pas un cercle.
- On compare la distance au centre et le rayon : égale, le point est sur le cercle ; plus petite, il est dans le disque ; plus grande, il est à l'extérieur.
- Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur ; le diamètre passe par le centre et mesure deux fois le rayon.
- Le compas garde une distance : on règle l'écartement sur le rayon, on pique la pointe sèche sur le centre, et on tourne.
As-tu compris ?
Cherche d’abord, puis déplie la réponse. Dans l’appli, il y en a quatre, puis une deuxième série et un défi.
Mathématiques · CM2
Un cercle a pour centre O et pour rayon 4 cm. Le point M est situé à 5 cm de O. Où se trouve M ?
Voir la réponse
Réponse : À l'extérieur du disque. On compare la distance au centre et le rayon : 5 cm est plus grand que 4 cm. Le point M est donc plus loin du centre que ne l'est le cercle lui-même : il est dehors. À 4 cm, il aurait été sur le cercle ; à 2 cm, dans le disque.
Mathématiques · CM2
La roue avant d'un vélo a un diamètre de 60 cm. Quel est son rayon, en cm ?
Voir la réponse
Réponse : 30. Le diamètre passe par le centre et mesure deux fois le rayon : le rayon est donc la moitié du diamètre, soit 60 ÷ 2 = 30 cm. C'est la distance du moyeu, qui est le centre, jusqu'au bord de la roue.