Mathématiques · CM1 · semaine 12
Les polygones
Une leçon courte de CM1, à lire en cinq minutes. Chaque étape a son exemple.
Trois conditions, pas une de moins
Tu sais déjà qu'une figure plane fermée dont tous les côtés sont droits s'appelle un polygone, que ses traits sont ses côtés et ses coins ses sommets. Voici maintenant les trois conditions, une par une, car chacune peut manquer. Le contour doit être fermé : on doit pouvoir en faire le tour et revenir à son point de départ. Le contour doit être fait uniquement de segments : pas le moindre morceau courbe. Et le contour ne doit jamais se recouper. Si une seule de ces trois conditions manque, ce n'est pas un polygone.
Exemple : Un carreau de carrelage, une porte, un panneau de danger : trois polygones. Une assiette, une pièce de monnaie : leur contour est courbe, ce ne sont pas des polygones.
Les trois façons de ne pas en être un
Premier cas, la ligne ouverte : je trace quatre segments bout à bout, mais le dernier ne rejoint pas le premier. Le contour a un trou, ce n'est pas un polygone. Deuxième cas, le contour courbe : un cercle, un disque, une figure en demi-lune, ou même une figure dont un seul bord est arrondi. Un cercle, d'ailleurs, n'est pas un polygone « à énormément de côtés » : son contour ne contient aucun segment, alors qu'un polygone a un nombre de côtés que l'on peut toujours compter. Troisième cas, le contour croisé, comme un nœud papillon ou une étoile tracée d'un seul trait : le contour se recoupe, ce n'est pas un polygone usuel.
Exemple : Un élastique accroché à des clous : s'il ne se croise pas et qu'il revient à son point de départ, il dessine un polygone. S'il se croise, non.
Autant de sommets que de côtés
Compte les côtés d'une figure, puis ses sommets : tu trouveras toujours le même nombre. Ce n'est pas un hasard : chaque côté relie deux sommets, et chaque sommet est le point de rencontre de deux côtés exactement. Si tu comptes des nombres différents, c'est que tu as oublié un côté ou compté deux fois un sommet. Le nom du polygone vient uniquement de ce nombre : trois côtés, un triangle ; quatre, un quadrilatère ; cinq, un pentagone ; six, un hexagone. Et le carré, le rectangle et le losange sont des quadrilatères particuliers : un carré est un quadrilatère, même si l'on préfère l'appeler par son nom précis.
Exemple : Un panneau stop a huit côtés et huit sommets : c'est un octogone. Une alvéole d'abeille et un écrou en ont six : ce sont des hexagones.
Les diagonales, et comment les compter sans se tromper
Une diagonale est un segment qui joint deux sommets qui ne sont pas voisins. Elle traverse la figure et ne fait jamais partie du contour. Voici la méthode pour les compter : depuis chaque sommet, je compte les sommets que je peux rejoindre sans passer par un côté, puis je divise le total par deux, car chaque diagonale a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses deux extrémités. Un quadrilatère : depuis chacun de ses 4 sommets, un seul sommet n'est pas voisin, donc 4 divisé par 2, soit 2 diagonales. Et le triangle réserve une surprise : ses trois sommets sont tous voisins deux à deux, il n'a donc aucune diagonale.
Exemple : Dans un quadrilatère, ce sont les deux segments qui vont d'un coin au coin d'en face : il y en a exactement deux, et non une par coin.
Décrire un polygone avec ce que tu sais déjà
Tu as appris à reconnaître des droites perpendiculaires et des droites parallèles : sers-t'en pour décrire un polygone avec précision. On peut dire : « un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et dont un angle est droit », ou « un pentagone dont deux côtés sont perpendiculaires », ou encore donner ses longueurs dans l'ordre. C'est ce qu'on appelle une fiche d'identité : avec elle, on reconnaît la figure sans l'avoir vue. Et si l'on connaît toutes les longueurs de ses côtés, on peut calculer le tour du polygone en les additionnant.
Exemple : Fiche d'identité : quatre côtés droits, mesurant dans l'ordre 5 cm, 2 cm, 5 cm et 2 cm, quatre angles droits. C'est un rectangle.
À retenir
- Un polygone est une figure plane dont le contour est fermé, fait uniquement de segments, et qui ne se recoupe pas. Si une seule condition manque, ce n'est pas un polygone.
- Un cercle n'est pas un polygone : son contour est courbe et ne contient aucun segment.
- Dans tout polygone, il y a autant de sommets que de côtés. Le nom vient du nombre de côtés : 3 triangle, 4 quadrilatère, 5 pentagone, 6 hexagone. Un carré est un quadrilatère.
- Une diagonale joint deux sommets qui ne sont pas voisins : un triangle n'en a aucune, un quadrilatère en a deux. Pour compter, je compte depuis chaque sommet, puis je divise par deux.
- Je décris un polygone par son nombre de côtés, ses longueurs dans l'ordre, ses angles droits et ses côtés parallèles.
As-tu compris ?
Cherche d’abord, puis déplie la réponse. Dans l’appli, il y en a quatre, puis une deuxième série et un défi.
Mathématiques · CM1
Un polygone a six côtés. Combien a-t-il de sommets ?
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Réponse : 6. Dans tout polygone, il y a autant de sommets que de côtés : chaque côté relie deux sommets, et chaque sommet est le point de rencontre de deux côtés. Six côtés, donc six sommets.
Mathématiques · CM1
Laquelle de ces figures n'est pas un polygone ?
Voir la réponse
Réponse : Une figure fermée dont un seul bord est arrondi. Le contour d'un polygone doit être fait uniquement de segments : un seul bord arrondi suffit à l'exclure, même si tout le reste est bien droit. Les trois autres sont des polygones : un quadrilatère, un triangle et un hexagone.