Mathématiques · CM1 · semaine 13
La division posée (diviseur à un chiffre)
Une leçon courte de CM1, à lire en cinq minutes. Chaque étape a son exemple.
Poser la division
Tu sais déjà ce que veut dire diviser, et tu connais les quatre mots : le dividende est le nombre que l'on partage, le diviseur est le nombre de parts, le quotient est le résultat, et le reste est ce qui n'a pas pu être partagé. Cette semaine, tu apprends à poser l'opération pour y arriver même avec de grands nombres. On écrit le dividende à gauche, puis un trait vertical, puis le diviseur à droite de ce trait ; le quotient s'écrira sous le diviseur. Ce trait en forme d'angle s'appelle la potence. Et surtout, une règle qui surprend tout le monde : la division est la seule opération posée qui commence par la gauche.
Exemple : Pour 875 ÷ 6, j'écris 875 à gauche, un trait vertical, puis 6 à droite du trait ; le quotient viendra sous le 6.
Chiffre par chiffre, en abaissant
On avance chiffre par chiffre, en partant du chiffre de gauche du dividende. À chaque étape, on se demande combien de fois le diviseur tient dans le nombre que l'on a sous les yeux, on écrit ce chiffre au quotient, et on garde ce qui reste. Puis on abaisse le chiffre suivant du dividende à côté de ce reste, et l'on recommence. Quand il n'y a plus rien à abaisser, ce qui reste est le reste de la division.
Exemple : 875 ÷ 6 : dans 8, 6 tient 1 fois, reste 2. J'abaisse le 7 : dans 27, 6 tient 4 fois (6 × 4 = 24), reste 3. J'abaisse le 5 : dans 35, 6 tient 5 fois (6 × 5 = 30), reste 5. Quotient 145, reste 5.
Quand le premier chiffre est trop petit
Il arrive que le diviseur ne tienne pas dans le premier chiffre du dividende. Dans ce cas, on ne met rien au quotient pour ce chiffre-là : on prend les deux premiers chiffres ensemble et l'on commence avec eux. Le quotient a alors un chiffre de moins que le dividende, ce qui est parfaitement normal. C'est la première source d'erreurs de la semaine, et il suffit d'y penser une fois pour ne plus se tromper.
Exemple : 245 ÷ 7 : 7 ne tient pas dans 2, je prends donc 24. Dans 24, 7 tient 3 fois (7 × 3 = 21), reste 3. J'abaisse le 5 : dans 35, 7 tient 5 fois, reste 0. Quotient 35, reste 0 : la division tombe juste.
Le zéro que l'on oublie
Voici la difficulté la plus piégeuse. Après avoir abaissé un chiffre, il se peut que le diviseur ne tienne pas du tout dans le nombre obtenu. On ne saute surtout pas cette étape : on écrit un 0 au quotient, puis on abaisse le chiffre suivant. Si l'on oublie ce zéro, le quotient trouvé est dix fois trop petit, et le contrôle final ne tombe plus du tout juste. Chaque chiffre abaissé donne un chiffre au quotient : pas un de plus, pas un de moins.
Exemple : 617 ÷ 3 : dans 6, 3 tient 2 fois, reste 0. J'abaisse le 1 : dans 1, 3 tient 0 fois, j'écris 0 au quotient et il reste 1. J'abaisse le 7 : dans 17, 3 tient 5 fois (3 × 5 = 15), reste 2. Quotient 205, reste 2, et non 25.
Estimer avant, vérifier après
Comme pour la multiplication posée, on encadre le résultat avant de se lancer, avec des nombres ronds : cela permet de repérer tout de suite un quotient absurde. Et quand le calcul est fini, on contrôle toujours de la même façon : diviseur multiplié par quotient, plus le reste, doit redonner le dividende. Un second contrôle ne coûte rien : le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. S'il est aussi grand ou plus grand, c'est que le quotient choisi était trop petit.
Exemple : Pour 875 ÷ 6, 840 ÷ 6 = 140 : un quotient de 145 est vraisemblable. Je contrôle : 6 × 145 = 870, et 870 + 5 = 875. Et 5 est bien plus petit que 6.
À retenir
- La division posée est la seule opération que l'on commence par la gauche.
- À chaque étape : combien de fois le diviseur tient-il ? J'écris ce chiffre au quotient, puis j'abaisse le chiffre suivant.
- Si le diviseur ne tient pas dans le premier chiffre, je prends les deux premiers chiffres ensemble.
- S'il ne tient pas dans le nombre obtenu après un abaissement, j'écris un 0 au quotient : ne jamais l'oublier.
- Je contrôle à la fin : diviseur × quotient + reste doit redonner le dividende.
- Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
As-tu compris ?
Cherche d’abord, puis déplie la réponse. Dans l’appli, il y en a quatre, puis une deuxième série et un défi.
Mathématiques · CM1
Pose et effectue 1 458 ÷ 6, puis écris le quotient en chiffres.
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Réponse : 243. 6 ne tient pas dans 1, je prends donc 14 : 6 y tient 2 fois (6 × 2 = 12), reste 2. J'abaisse le 5 : dans 25, 6 tient 4 fois (6 × 4 = 24), reste 1. J'abaisse le 8 : dans 18, 6 tient 3 fois, reste 0. Le quotient est 243 et la division tombe juste. Contrôle : 6 × 243 = 1 458.
Mathématiques · CM1
Yanis pose 824 ÷ 8 et annonce un quotient de 13. Son résultat est bien trop petit. Qu'a-t-il oublié de faire ?
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Réponse : Écrire un 0 au quotient quand 8 ne tenait pas dans 2. Dans 8, 8 tient 1 fois, reste 0. Yanis abaisse ensuite le 2 : 8 ne tient pas dans 2, et c'est là qu'il fallait écrire un 0 au quotient avant d'abaisser le 4. En sautant cette étape, il obtient 13 au lieu de 103. Le contrôle le confirme : 8 × 13 = 104, très loin de 824, alors que 8 × 103 = 824.